Пифагорейская теория соизмеримых в степени величин

Рассмотрение уравнений второй степени бессмысленно без учения об иррациональностях. Собственно, решение уравнений второй степени — это и есть учение об иррациональном. Считается, что Пифагор первым построил учение об иррациональных числах. Как сказано выше, он ввел три рода величин: соизмеримые, соизмеримые в степени и несоизмеримые. Несоизмеримые величины полностью относятся к материи, т. е. механическому эфиру, ибо материя, по Платону и Аристотелю, иррациональна и невыразима. Соизмеримые в степени также называются иррациональностями, но статус их иной, чем у несоизмеримых. Соизмеримые в степени — это «хорошие иррациональные».

Соизмеримые в степени, как и просто соизмеримые, относятся к Логосу. Они участвуют в построении первоэлементов. Именно по этой причине понятия несоизмеримости и иррациональности оказали столь фундаментальное воздействие на греческую культуру. «В диалоге Платона „Законы“ Афинянин говорит, что поздно узнал о несоизмеримости и что до этого он был подобен неразумному животному»^[1].

Аристотель писал в «Метафизике»: «Все начинают с изумления, обстоит ли дело именно так, как „недоумевают“, например, про загадочные самодвижущиеся игрушки, или „сходным образом“ в отношении солнцеворотов, или несоизмеримости диагонали; ибо у всех, „кто еще не рассмотрел причину“, вызывает удивление, если что-нибудь нельзя измерить самою малою мерою»^[2].

Величины, соизмеримые во второй степени, имеют три различных вида. Все три вида выражаются уравнениями второй степени. Рассмотрение этих уравнений и составляет суть учения об иррациональных соизмеримых в квадрате. Рассмотрим подробнее эти три вида квадратных уравнений.

1. Параболический вид. Логика рассуждения пифагорейцев такова. Берется некоторая величина, например АВ, и делится на две неравные части а и Ь. Затем эти величины прикладываются друг другу. Получается при этом прямоугольник. Если же приравнять этот прямоугольник квадрату, то будем иметь соизмеримую в степени величину. Это записывается следующим образом: а? b = х². Если уравнение имеет решение, то произведение а? b относится к соизмеримым в квадрате величинам, которые можно дальше использовать в построении правильных многоугольников или правильных многогранников.

Логика рассуждения при обосновании этого положения такова. Делим АВ на две части АС и СВ (рис. 3.3). Теперь возводим величину АВ в квадрат и получаем АВ² = (АС + СВ)² = АС^[2] + 2АС? СВ + СВ². Строим квадрат на АВ, равный ABED, квадрат на АС, равный GHID, и квадрат на СВ, равный СВКН. Затем вычитаем квадраты по теореме Пифагора. В итоге получится, что 2АС? СВ будет равен квадрату. И окончательно, АС? СВ гоже будет равен квадрату, т. е. х².

Рис. 3.3.

Итак, самое простое уравнение второй степени возникает при перемножении двух величин a-b-х². Это уравнение называется приложением площадей. Само уравнение представляет собой параболический вид. Евклид выразит то же отношение несоизмеримого в квадрате в предложении 4 книги 2: «Если прямая линия как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятыми прямоугольником, заключенным между отрезками»².

2. Гиперболический вид. Величина АВ не делится на две части а и b так, чтобы их произведение дало величину, соизмеримую в степени. Для достижения этой цели величина делится пополам, а затем к ней необходимо прибавить некоторую величину х. Это нс любая величина, но такая, которая превратила бы величину (d + х)² в соизмеримую в степени величину. Решение уравнения позволяет найти эту величину х.

Итак, весь смысл решения любых уравнений любой степени заключается в нахождении некоторой величины х, превращающей несоизмеримую величину АВ в соизмеримую в степени величину. Рассмотрим эту операцию на примере фигуры, изображенной на рис. 3.4.

Рис. 3.4.

Берем некоторый отрезок АВ и приравниваем его 2d. Затем делим его пополам. Получаем две половины d, к которым прибавляется х. Поэтому и выходит избыток, отсюда и название — гиперболический вид. Получилось (d + х) ? (d + х) = (d + ж)² = К². К² на рисунке означает величину квадрата CDIE. Затем (d + х)² раскладывается по формуле сокращенного умножения: (d + х)² = d¹ + 2d ? х + х² = К².

Это действие означает следующее. Берем квадрат на СВ, равный LGHE (У²), и прибавляем к нему прямоугольник CBGL (d • х), прямоугольник GMIH (d ? х) и квадрат на BDMG (х²). В результате получаем квадрат CDIE ((d + х)² = К²). Теперь надо от CDIE отнять LGHE, и это равняется гномон}' 2d? х + х², который по теореме Пифагора тоже являлся квадратом. Так неквадратная фигура приравнивалась квадрату. Причем неквадратная фигура необязательно должна была быть соизмеримой в квадрате.

В «Началах» Евклида эти положения выражены в более общем виде. Это отражено в предложении 6 книги 2: «Если прямая линия рассечена пополам и к ней „по прямой“ приложена какая-либо другая прямая, то прямоугольник, заключенный между всей прямой с приложенной и самой приложенной, вместе с квадратом на половине равен квадрату на прямой, составленной из половины и приложенной»¹.

3. Эллиптический вид. Рассуждения фактически повторяют приведенные для гиперболического вида. Величина АВ не делится на две части а и b так, чтобы их произведение дало величину, соизмеримую в степени. Для достижения этой цели величина делится пополам, а затем от нее необходимо отнять некоторую величину х. Это не любая величина, но такая величина, которая превратила бы величину (d — х)² в соизмеримую в степени величину. Решение уравнение позволяет найти эту величину х.

Итак, весь смысл решения любых уравнений любой степени заключается в нахождении некоторой величины х, превращающей несоизмеримую величину АВ в соизмеримую в степени величину. Рассмотрим эту операцию на примере фигуры, изображенной на рис. 3.5.

Рис. 35.

Берем некоторый отрезок АВ и приравниваем его 2d. Затем делим его пополам. Получаем две половины d, от которых отнимаем х. Поэтому и выходит недостаток, отсюда и название — эллиптический вид. Получилось (d — х)? (d — х) = (d — х)² = К². К² на рисунке означает величину квадрата на CD, равного квадрату LGHE. Затем (d — х)² раскладывается по формуле сокращенного умножения: (<7 — х)² = d² — 2d? х + х² = К¹.

Это действие означает следующее. Берем квадрат CBIE (d²) и отнимаем от него прямоугольник CBML (d? х), прямоугольник DBIH (d? х) и прибавляем квадрат DBMG (х²). В результате получаем квадрат LGHE ((d — х)² — К²). Теперь надо от CBIE отнять LGHE, и это равняется гномону 2d? х — х², который по теореме Пифагора тоже являлся квадратом. Так неквадратная фигура приравнивалась квадрату. Причем неквадратная фигура необязательно должна была быть соизмеримой в квадрате.

Это решение воспроизводится в предложении 5 книги 2 Евклида: «Если прямая линия рассечена на равные и неравные отрезки, то прямоугольник, заключенный между неравными отрезками всей прямой, вместе с квадратом на отрезке между сечениями равен квадрату на половине»¹.

Итак, для построения теории соизмеримых величин, к которым относятся все целые числа и целые отношения целых чисел (например, 10 к 5), достаточно одной лишь арифметики в узком смысле слова, достаточно одних чисел. Но совсем другая ситуация возникает, когда нам надо выразить соизмеримые в степени величины. Здесь уже совсем недостаточно арифметики, нужна новая математическая дисциплина, которая и получила название геометрии.

Геометрия нужна совсем не для измерения земельных участков, смываемых Нилом, а для исследования соизмеримых в степени величин. Само название «геометрия» означает измерение земли. В этом отношение оно очень удачно, ведь слово «земля» имеет и для египтян, и для греков два значения. С одной стороны, это общеизвестная земля окружающего нас мира, и поэтому это значение дает чувственный образ для непосвященных, стремящихся к тайному знанию. Сюда же относятся практические работники, которые занимаются промером земляных участков, что практически очень важно для Египта. Этим занимались писцы в начале своего восхождения к вершинам знания.

Но есть и второе, возвышенное значение слова «земля». Это земля как первоэлемент, из которого состоит твердое основание идеального космоса. Эта земля выполняет ту же роль, что и видимая нами земля окружающего мира, но только эта роль выполняется в идеальном космосе. Кстати, все первоэлементы получили свое название как раз по аналогии с теми функциями, которые они выполняют в идеальном космосе. Эти функции соответственны функциям обычных земли, воды, воздуха и огня на нашей планете. Когда берутся соизмеримые во второй степени величины, то строится вся развернутая сеть планиметрических отношений. Планиметрия как раз и изучает плоские фигуры.

Решение квадратных уравнений для пифагорейцев было связано с построением стороны правильного многоугольника, особенно это касалось вопроса построения стороны правильного пятиугольника. «В случае построения стороны пятиугольника или десятиугольника мы имеем уже пример геометрического решения уравнения второй степени»^[4]. Именно построение стороны правильного пятиугольника открывало путь к построению додекаэдра. Не менее важна роль уравнений второй степени при непосредственном построении многогранников. Ведь именно при решении этих уравнений пифагорейцы столкнулись с несоизмеримыми величинами. А без таких величин невозможно построить правильные многогранники.

Теория чисел некоторыми, не вникающими в ее суть, считается тренировкой ума или красивой математической игрой в числа. Пример пифагорейцев показывает, что это совсем не так. «Возможно, что пифагорейские изыскания в области теории чисел являлись частично продолжением мистических выкладок вавилонян; но наряду с этим им удалось добиться составления квадратных уравнений, свободных от иррациональных корней»^[5]. А квадратные уравнения необходимы для построения сторон правильных многоугольников и граней правильных многогранников.

Феодор Киренский разработал учение о соизмеримых в квадрате величинах для сторон квадрата с площадями 3, 5, 6, 7, …, 17. Эти стороны квадрага были несоизмеримы со стороной единичного квадрата. Но сами площади при этом очевидно были соизмеримы с единичным квадратом. Общее учение о соизмеримых во второй степени величинах принадлежит Теэтету. Теэтет доказал следующую общую теорему: «если площадь квадрата выражается целым неквадратным числом, то его сторона несоизмерима со стороной единичного квадрата.

Доказательство этой теоремы существенно опирается на основное предложение теории делимости: произведение двух целых чисел АВ делится на простое число Р тогда и только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей делится на Р. На основании этого предположения иррациональность л/n, если N не является полным квадратом, доказывается точно так же, как и иррациональность л/2″^[6].

Опять для построения теории соизмеримых во второй степени величин понадобились простые числа. Теэтет показал возможность построения отрезков, соизмеримых в кубе с основной единицей. Но для построения правильных многогранников более важной была первая попытка классификации соизмеримых во второй степени величин. Теэтет построил иррациональности, которые общепринято называть биноминали: I~N + [м или N + Vm, апотемы (вычеты): 4n — Vm, N — Vm или 4n — Ми медиали (средние): VVw * 4 м .

При построении икосаэдра и додекаэдра применяются «меньшие иррациональности» и вычеты. На этом основании ряд ученых приписывают именно Теэтету построение данных правильных многогранников. Более развернутая классификация иррациональностей приведена в книге 10 «Начал» Евклида.

Заканчивая описания математических достижений Теэтета, следует упомянуть о введенном им критерии несоизмеримости. Этот критерий связан с применением алгоритма Евклида по нахождению общей меры двух величин. Если два отрезка соизмеримы, то их общая мера будет найдена за конечное число шагов. Если две величины соизмеримы в степени, то через некоторое конечное число шагов последовательные остатки будут периодически повторяться. Если две величины несоизмеримы, то не возникнет ни общей меры, ни повторяющегося периодического остатка.

В заключение данного параграфа рассмотрим цепочки квадратных уравнений, которые использовались для построения правильных многогранников. «К нормальным цепочкам сводится построение ребер всех правильных многогранников, а также сторон правильных «-угольников при п — 3, 3 • 2*, 4, 4 • 2*, 5, 5? 2* 15, рассматриваемых в «Началах»»^[7]. Цепочки квадратных уравнений выражаются следующим образом:

«х^[7] + ах = b_f где а, b е К;

х^[7] + а_ххЬ_Ху где а_х, Ь_] е К_{;

х^[7] + a_tTx = b_iv где а_п, Ь_п е К_п.

Причем коэффициенты каждого последующего уравнения принадлежат полю, содержащему корни предыдущего. Мы предполагаем, кроме того, что корни всех уравнений действительны. Будем называть такую цепочку нормальной"^[11].

• [1] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 74.
• [2] Аристотель. Метафизика // Аристотель. Собр. соч. В 4 т. Т. 1. С. 69.
• [3] Аристотель. Метафизика // Аристотель. Собр. соч. В 4 т. Т. 1. С. 69.
• [4] Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. С. 38.
• [5] Там же.
• [6] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 75.
• [7] Там же. С. 82.
• [8] Там же. С. 82.
• [9] Там же. С. 82.
• [10] Там же. С. 82.
• [11] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 81.